SISTEMAS NUMÉRICOS Y TEORIA DE CONJUNTOS — Repaso #1
NÚMEROS Y CONJUNTOS
1. Los números
Son abstracciones matemáticas representadas por signos que cumplen con las propiedades de un sistema de cómputo, los cuales se emplean para contar, medir y codificar.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (Números arábigos)
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,… (Números romanos)
Por su versatilidad y sencillez, son empleados con mayor frecuencia los números arábigos; no excluyéndose la posibilidad de efectuar cálculos o mediciones con otros símbolos. Estos signos constituyen un conjunto de elementos que relacionados entre sí por axiomas, postulados, definiciones, teoremas y propiedades permiten procesar y trabajar con información; es por esto que decimos que cumplen con las propiedades de un sistema de cómputo. Por ejemplo: La suma, la diferencia, la multiplicación, la división, la radiación, la potenciación y otros.
Son abstracciones porque representan una idea, ya que físicamente los números no existen ni se pueden ver. Estas ideas son representadas por signos, tales como:
1.1. Uso de los números
Los números se utilizan para contar, medir y codificar.
1.1.1. Contar
Por ejemplo ¿Cuántas manzanas puedes contar?
 |
| Contando Manzanas |
Respuesta.- Son tres manzanas.
1.1.2. Medir
También los números se utilizan para medir, por ejemplo: El siguiente listón tiene una longitud de 30 centímetros.
 |
| El listón mide 30 cm |
Existen muchas cosas que se pueden medir, por ejemplo: el tiempo, la amplitud, la presión, el volumen, la masa, el peso, la velocidad, la aceleración, la densidad, la viscosidad, etc.
1.1.3. Codificar
La codificación es otro uso frecuente que se tiene de los números, por ejemplo los números de de telefonía celular asignados a cada cliente y dispositivo electrónico.
 |
| Marcando el número de celular |
Otros casos podrían ser: números de domicilio, de matrículas de autos y motocicletas, números de cédulas de identidad o de pasaportes, códigos postales, números de revistas, los artículos de la ley, entre otros.
1.2. Interpretación de los números
50° (grados) mide la amplitud de un ángulo
 |
| La amplitud de este ángulo es de 50° |
50 °C (grados centígrados) mide la temperatura
 |
| En el desierto la temperatura llegó a 50 °C |
$50 (dólares) es una cantidad de dinero
 |
| Cantidad de dinero, como $50 |
50 cm (centímetros) es una medida de longitud
 |
| Midiendo 50 centímetros |
50 s (segundos) es una medida de tiempo.
 |
| Midiendo 50 segundos con el cronómetro |
Ahora bien, sin importar el contexto, podemos trabajar con propiedades generales de los números. Estas propiedades están vinculadas a un sistema numérico permitiendo efectuar cálculos y operaciones de forma segura.
2. Sistemas numéricos
El principal sistema numérico es el de los NÚMEROS REALES (\(\mathbb R\)) que gráficamente se puede representar por una recta. Este sistema a su vez incluye otros sistemas tales como el de: los números Naturales (\(\mathbb N\)), Números enteros (\(\mathbb Z\)), Números racionales \(\mathbb Q\), y Números Irracionales (\(\mathbb I\)).
2.1. Sistema de números Naturales
Representado por la letra \(\mathbb N\), y conformado por los números:
\(\mathbb N=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\right\}\)
2.2. Sistema de números Enteros
Representado por la letra \(\mathbb Z\) y conformado por los números:
\(\mathbb Z=\left\{..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\right\}\)
2.3. Sistema de números racionales
Representado por la letra \(\mathbb Q\), y cuyos números están definidos como el cociente de dos números enteros, que cumplen la siguiente condición:
\(\mathbb Q=\left\{ \displaystyle \frac{p}{q} \mid p \wedge q \in \mathbb Z , q\not= 0\right\}\)
Note que cualquier número entero dividido entre 0 no esta definido.
Representación de números racionales
Los números racionales tienen una representación fraccionaria y una representación decimal. La representación decimal puede ser fija o periódica. Es fija cuando tiene un numero determinado de números decimales; y es periódica cuando tiene un grupo de decimales que se repiten continuamente de forma infinita.
Puede usarse una u otra notación dependiendo de las necesidades.
(Notación fraccionaria) \(\displaystyle \frac{1}{4}=0.25\) (Notación decimal - decimales fijos)
(Notación fraccionaria ) \(\displaystyle \frac{1}{3}=0.33333...=0.\overline{3}\) (Notación decimal- decimales periódicos)
Note que los siguientes números no son iguales:
$$0.3<0.33<0.3333<0.\overline{3}$$
$$\displaystyle \frac{3}{10}<\frac{33}{100}<\frac{3333}{10000}<\frac{1}{3}$$
Por lo que en la resolución de problemas trabajar con aproximaciones puede modificar el resultado final obtenido, y dependiendo de la precisión necesaria se puede tener una variación considerable.
2.4. Sistema de números irracionales
Representado por la letra \(\mathbb I\), aunque también suele usarse la letra \(\mathbb Q'\); debido a que el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales(\(\mathbb I= \mathbb Q'\)); en consecuencia entre ambos conjuntos no existen elementos en comunes y sin embargo juntos ambos conforman el conjunto de números Reales. Es decir, que a intersección de los números Racionales y Irracionales es el conjunto vacío y su unión da lugar al conjunto de números Reales.
$$\mathbb Q\cap\mathbb I=\varnothing$$
$$\mathbb Q\cup\mathbb I=\mathbb R$$
Representación de números irracionales
Los números pertenecientes a este sistema no pueden ser representados por el cociente entre dos números enteros, pudiendo tener una representación por letras griegas especificas, por operaciones asociadas a ellas y una forma decimal. En su forma decimal, sus decimales se desarrollan infinitamente sin generar periodos.
Los siguientes ejemplos son maneras de representar números irracionales:
$$\pi=3.141592653589...$$
$$e=2.7182818284...$$
$$\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887...$$
$$\sqrt{2}=1.4142135623...$$
$$\sin60°=\sin\displaystyle \frac{\pi}{3}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=0.8660254037...$$
$$\ln 20=2.9957322735...$$
Estos números al tener decimales no periódicos, se sugiere utilizar su representación por letras griegas o por las operaciones asociadas a ellas, y solamente al final de la simplificación de los cálculos, se puede aproximar el resultado mediante su forma decimal, de esta manera se evitará perder precisión en los resultados.
2.5. Sistema de números Reales
Los números reales representados por \(\mathbb R\), esta conformado por la unión de los números racionales e Irracionales, es decir:
$$\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I$$
Es posible graficar los elementos de este conjunto por medio de una recta, conocida como recta Real. La cual tiene tres partes claramente diferenciadas, el origen lugar que le corresponde al número 0, los números reales positivos que se extienden hacia la derecha, y los números reales negativos que se extienden hacia la izquierda.
 |
| Recta de números Reales |
En consecuencia, los números reales puede representarse como la unión de tres conjuntos.
$$\mathbb R=\mathbb R^{-}\cup \left\{0\right\}\cup\mathbb R^{+}$$
3. Teoría de conjuntos
Es importante conocer las nociones de la teoría de conjuntos para trabajar con soltura. Algunos problemas tienen asociados una sola respuesta, mientras que otros tienen un conjunto de soluciones o ninguna; por lo que se necesita una forma de representar estas respuestas, para ello utilizamos la nomenclatura de la teoría de conjuntos.
Un conjunto es la agrupación de distintos objetos, se lo representa con letras mayúsculas: \(A, B, C, ...\). Cada objeto del conjunto es un elemento.
Considere el conjunto \(B\) , cuyos elementos son \(1, 2, 3, 4, 5\) ; entonces podemos usar la siguiente notación: $$B=\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$$
Cuando un objeto es elemento de un conjunto, usamos la siguiente notación:
$$1\in B$$ Significa que \(1\) pertenece al conjunto \(B\)
$$x \in B$$
Significa que el elemento \(x\) pertenece al conjunto \(B\)
De forma general decimos:
3.1. Representación de conjuntos
Los elementos de un conjunto pueden representarse mediante una lista, mediante una propiedad o un gráfico
3.1.1. Representación de conjuntos mediante lista
En estos casos se anotan todos los elementos pertenecientes al conjunto, por ejemplo:
El conjunto \(A\) conformado por los primeros cinco números impares.
$$A=\left\{1, 3, 5, 7, 9\right\}$$
3.1.2. Representación de conjuntos mediante propiedad
En este caso representamos los elementos de un conjunto mediante una letra minúscula que generalmente es la \(x\) la cual está asociada a una propiedad que determina sus valores.
Siguiendo el ejemplo anterior, se debe dar las condiciones que debe cumplir \(x\) para que se cumpla el enunciado, de manera que represente la lista.
Siendo la propiedad \(x = 2n-1\) y la condición \( n= 1, 2, 3, 4, 5\). De manera que si aplicamos la propiedad bajo las condiciones descritas, tenemos los elementos del conjunto \(A\).
Otras formas válidas de representar el conjunto \(A\) son:
$$A=\left\{x | x=2n-1 ; n<6 \wedge n \in \mathbb N \right\}$$
$$A=\left\{x | x=2n-1 ; n\leq 5 \wedge n \in \mathbb N \right\}$$
$$A=\left\{x | x=2n-1 ; n<6 \wedge n \in \mathbb Z^{+} \right\}$$
$$A=\left\{x | x=2n-1 ; 0 < n\leq5 \wedge n \in \mathbb Z \right\}$$
$$A=\left\{x | x=2n-1 ; n=1, 2, 3, 4, 5\right\}$$
3.1.3.Representación gráfica de conjuntos
Esta representación generalmente se utiliza con los números reales, aunque también, puede utilizarse con los otros sistemas numéricos.
Por ejemplo: una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianos y con radio 1, es el conjunto de todos los puntos conformados por pares ordenados que cumplen la siguiente propiedad:
$$C=\left\{(x,y) | x^{2}+y^{2}=1 ; \textup{ con } x, y \in \mathbb R ; -1 \leq x\leq1; -1\leq y\leq1 \right\}$$
 |
| Gráfico del conjunto C |
Note que el punto \((0,1) \)y el punto \((1,0)\) cumplen con condiciones del conjunto \(C\) y por tanto son parte del conjunto.
$$(0,1) \in C; \textup{ porque } 0^{2}+1^{2}=1$$
$$(1,0) \in C; \textup{ porque } 1^{2}+0^{2}=1$$
Todos los puntos \((x,y) \) que cumplan la condición pertenecen al conjunto.
3.2. Conjunto vacío
El conjunto vacío es aquel que no contiene elementos, es llamado conjunto vacío y se usa la siguiente notación: \(\varnothing\)
3.3. Subconjuntos
Si todos los elementos del conjunto \(B\) son elementos del conjunto \(A\), entonces \(B\) es un subconjunto de \(A\), y utilizamos la siguiente notación: \(B\subset A\).
Esta definición la expresamos de la siguiente forma:
$$B\subset A\Leftrightarrow x\in B \Rightarrow x\in A $$
Note que por la definición el conjunto \(B\) contiene menos o la misma cantidad de elementos del conjunto \(A\).
Veamos los siguientes ejemplos
Dado los conjuntos,
$$A=\left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}$$
$$B=\left\{ 1, 2, 3, 4, \right\}$$
$$C=\left\{ 2, 4, 6, 8\right\}$$
$$D=\left\{ 2\right\}$$
las siguientes afirmaciones son verdaderas:
$$B\subset A$$
$$C\subset A$$
$$D\subset B\subset A$$
$$D\subset C\subset A$$
$$A\subset A$$
3.4. Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen lo mismos elementos, es decir, si todos los elementos del conjunto \(A\) están en el conjunto \(B\) y si todos los elementos del conjunto \(B\) están en el conjunto \(A\).
Expresamos esta definición de la siguiente forma.
$$A=B \Leftrightarrow A\subset B \wedge B\subset A$$
3.5. Unión de conjuntos
Unir dos conjuntos significa juntar los elementos de ambos conjuntos, de manera que el conjunto resultante tiene los elementos de ambos conjuntos. Es decir, dados dos conjuntos \(A\) y \(B\) si unimos ambos en \(A\cup B\), entonces al escoger cualquier elemento al azar este nuevo conjunto, el elemento escogido pertenecerá al conjunto \(A\) o al conjunto \(B\).
Definición: La unión de dos conjuntos \(A\) y \(B\) que se simboliza \(A\cup B\) es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
$$A\cup B=\left\{x|x \in A \lor x\in B \right\}$$
Ejemplo. Sean los conjuntos:
$$A=\left\{0, 1, 3, 5, 7, 9\right\}$$
$$B=\left\{ 0, 2, 4, 6, 8 \right\}$$:
Entonces, el conjunto
$$A\cup B= \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right\}$$
Veamos otro ejemplo.
¿Cuál es el conjunto solución que satisface la siguiente desigualdad?
$$(x-2)(x+2)>0$$
En este caso al tratarse de un conjunto con infinitas soluciones, el conjunto solución podemos representarlo, de las siguientes maneras.
$$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$$
 |
| No existe continuidad en la recta, por ello, la solución es la unión de ambos intervalos |
Si escogemos cualquier número al azar dentro de ese intervalo, satisface la desigualdad.
3.6. Intersección de conjuntos
Decimos que hay intersección entre conjuntos cuando ambos conjuntos tengan elementos en común. Es decir, que dados dos conjuntos \(A\) y \(B\) la intersección de ambos, el conjunto\(A\cap B\), esta conformado por todos los elementos comunes que tengan el conjunto \(A\) con el conjunto \(B\).
Si algunos elementos del conjunto \(A\) son también elementos del conjunto \(B\) , entonces ambos conjuntos intersección en esos elementos.
Definición: La intersección de dos conjuntos \(A\) y \(B\), se simboliza \(A\cap B\), es el conjunto de elementos comunes entre el conjunto \(A\) y el conjunto \(B\).
$$A\cap B=\left\{x|x \in A \wedge x\in B \right\}$$
Ejemplo. Sean los conjuntos:
$$A=\left\{-5, -\sqrt{2},0, 1, 2, e, 3, \pi, 4 ,5 \right\}$$
$$B=\left\{-5, -3.2, -\sqrt{2}, 0, 2, e, \pi, 6, 8 \right\}$$:
Entonces, el conjunto
$$A\cap B= \left\{ -5, -\sqrt{2}, 0, 2, e, \pi \right\}$$
Veamos otro ejemplo.
¿Cuál es el conjunto solución que satisface la siguiente desigualdad?
$$(x-2)(x+2)<0$$
Existen algunos procedimientos para encontrar la solución al problema planteado, uno de ellos se ve en la siguiente imagen. El conjunto solución es el intervalo proveniente de la intersección entre segmentos de las rectas de signos cuyo producto es menor a \(0\).
 |
| El segmento comprendido entre -2 y 2, sin incluir estos, es intervalo que satisface la inecuación |
El consecuencia, el conjunto solución es el intervalo
$$(-2 ,2)$$
3.7. Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos no poseen ningún elemento en común , de manera que su intersección es el conjunto vacío, entonces llamamos a ambos conjuntos disjuntos
Si los conjuntos \(A\) y \(B\) no tienen elemento en común, de manera que \(A \cap B=\varnothing\), entonces los conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos.
Es necesario familiarizarse, con los conceptos y definiciones planteadas, para trabajar con soltura y tranquilidad en el Sistema de Números Reales.
Comentarios
Publicar un comentario
Gracias por visitar mi blog. ¡Espero que te haya gustado esta publicación!