RECTAS PARALELAS — Capítulo # 8
RECTAS PARALELAS
1. Introducción
2. Ángulos entre dos rectas y una transversal
Si tenemos dos rectas \(m\) y \(n\) no coincidentes y \(l\) es una recta transversal que corta a las rectas \(m\) y \(n\); los ángulos: \(\angle 1, \angle 2, \angle3, \angle4,\angle5,\angle6, \angle7, \angle8\) generados por estas tres rectas se clasifican en: ángulos externos, ángulos internos, conjugados externos, conjugados internos, alternos externos, alternos internos, conjugados externos y conjugados internos.
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| Rectas \(m\) y \(n\) atravesadas por \(l\) |
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| Rectas \(m\) y \(n\) atravesadas por \(l\) |
2.1. Ángulos externos
Son ángulos externos aquellos ángulos cuyos lados no son parte del segmento formado entre las rectas \(m\) y \(n\) estando ubicados en la parte externa de las rectas \(m\) y \(n\). Son ángulos externos: \(\angle 1, \angle 2, \angle7, \angle8\).
2.2. Ángulos internos
Son ángulos internos aquellos ángulos ubicados al interior de las rectas \(m\) y \(n\). En estos ángulos uno de sus rayos esta constituido por el segmento comprendido entre las rectas \(m\) y \(n\). Son ángulos internos: \( \angle3, \angle4,\angle5,\angle6\).
2.3. Ángulos correspondientes
Son ángulos correspondientes aquel par de ángulos no consecutivos, siendo uno externo y el otro interno (o viceversa), que se encuentran situados a un mismo lado de la recta transversal. Son pares de ángulos correspondientes: \( \angle1\) y \( \angle5\); \( \angle4\) y \( \angle8\); \( \angle2\) y \( \angle6\); \( \angle3\) y \( \angle7\).
2.4. Ángulos alternos internos
Son ángulos alternos internos aquel par de ángulos internos no consecutivos que se encuentran ubicados a diferentes lados de la recta transversal. Son pares de ángulos alternos internos: \( \angle3\) y \( \angle5\); \( \angle4\) y \( \angle6\).
2.5. Ángulos alternos externos
Son ángulos alternos externos aquel par de ángulos externos no consecutivos que se encuentran ubicados a diferentes lados de la recta transversal. Son pares de ángulos alternos externos: \( \angle1\) y \( \angle7\); \( \angle2\) y \( \angle8\).
2.6. Ángulos conjugados internos
Son ángulos conjugados internos aquel par de ángulos internos, no consecutivos que se encuentran ubicados a un mismo lado de la recta transversal. Son pares de ángulos conjugados internos: \( \angle3\) y \( \angle6\); \( \angle4\) y \( \angle5\).
2.7. Ángulos conjugados externos
Son ángulos conjugados externos aquel par de ángulos externos no consecutivos que se encuentran ubicados a un mismo lado de la recta transversal. Son pares de ángulos conjugados externos: \( \angle2\) y \( \angle7\); \( \angle1\) y \( \angle8\).
3. Rectas no paralelas
Por otra parte, dos rectas no son paralelas si tienen un punto en común. Las rectas \(\overleftrightarrow{AB}\) y \(\overleftrightarrow{EF}\) no son paralelas si y solo sí la intersección entre ambas rectas es un punto; es decir: $$\overleftrightarrow{AB}\nparallel \overleftrightarrow{EF}\Leftrightarrow \overleftrightarrow{AB}\cap \overleftrightarrow{EF}=G$$
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| Las rectas \(l\) y \(n\) no son paralelas, es decir \( l \nparallel n\) |
4. Rectas paralelas
4.1 Definición de rectas paralelas
Dos rectas o segmentos que están en un mismo plano son paralelos si entendiéndose en ambas direcciones nunca se encuentran, es decir, no tienen puntos en común. Se emplea el símbolo \(\parallel\) para indicar que son paralelas; y se utiliza el símbolo\(\nparallel\) para indicar que no son paralelas.
Las rectas \(\overleftrightarrow{AB}\) y \(\overleftrightarrow{CD}\) son paralelas si y solo sí la intersección entre ambas rectas es el conjunto vacío; es decir: $$\overleftrightarrow{AB}\parallel \overleftrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overleftrightarrow{AB}\cap \overleftrightarrow{CD}=\varnothing$$
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| Las rectas \(l\) y \(m\) son paralelas, es decir \( l \parallel m\) |
4.2. Postulado de unicidad de rectas paralelas
Por un punto exterior a una recta se puede trazar únicamente una recta paralela a esta.
Considerando la recta \(m\), y el punto \(A\) exterior a la recta \(m\); por el punto \(A\) se puede trazar únicamente una recta \(n\), tal que: \(m \parallel n\).
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| La recta \(m\) y el punto \(A\) exterior a la recta |
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| Por \(A\) solamente puede trazarse una recta \(n\), tal que: \(m \parallel n\) |
4.2. Teoremas sobre rectas paralelas
4.2.1. Los ángulos correspondientes entre rectas paralelas son iguales
Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos correspondientes son iguales.
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| Sea \(m\parallel n\) con \(l\) una recta transversal con \(\alpha\) y \(\beta\) ángulos correspondientes \(\Rightarrow \alpha\) = \(\beta\) |
El reciproco de este teorema también es verdadero.
Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de sus ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
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| Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\alpha = \beta\) ángulos correspondientes \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\) |
4.2.2. Los ángulos alternos externos entre paralelas son iguales
Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos alternos externos son iguales.
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| Sea \(m\parallel n\) con \(l\) una recta transversal, con \(\alpha\) y \(\gamma\) ángulos alternos externos \(\Rightarrow\) \(\alpha\) = \(\gamma\) |
El reciproco de este teorema también es verdadero
Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos alternos externos son iguales, entonces las rectas son paralelas.
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| Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\alpha = \gamma\) ángulos alternos externos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\) |
4.2.3. Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales
Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos alternos internos son iguales.
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| Sea \(m\parallel n\) con \(l\) una recta transversal, con \(\beta\) y \(\theta \) ángulos alternos internos\(\Rightarrow\) \(\beta\) = \(\theta\) |
El reciproco de este teorema también es verdadero
Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.
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| Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\theta = \beta\) ángulos alternos internos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\) |
4.2.4. Los ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios
Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos conjugados externos son suplementarios.
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| Sea \(m\parallel n\) con \(l\) una recta transversal, con \(\alpha\) y \(\delta\) ángulos conjugados externos\(\Rightarrow\) \(\alpha +\delta= 180°\) |
El reciproco de este teorema también es verdadero
Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados externos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
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| Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\alpha +\delta = 180°\) siendo el par de ángulos conjugados externos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\) |
4.2.5. Los ángulos conjugados internos entre paralelas son iguales
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| Sea \(m\parallel n\) con \(l\) una recta transversal, con \(\theta\) y \(\epsilon\) ángulos conjugados internos \(\Rightarrow\) \(\theta +\epsilon= 180°\) |
El reciproco de este teorema también es verdadero
Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados internos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
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| Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\theta +\epsilon = 180°\) siendo el par de ángulos conjugados internos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\) |
5. Ejercicios
5.1. Ejercicio 1.
Dadas las rectas paralelas \(\overleftrightarrow{AB}\) y \(\overleftrightarrow{CD}\) se ubica un punto \(P\) entre ambas rectas de tal manera que \(\angle ABP =75\)° y \(\angle CDP=35°\) tal como se aprecia en la figura. Hallar la medida del ángulo \(\angle BPD\).
Resolución
1) \(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}\) [Dato]
2) \(\angle ABP =75\)° y \(\angle CDP=35°\) [Dato]
Q: Hallar \(\angle BPD\)
3) Por el punto \(P\) trazar la recta \(l\), tal que, \(l \parallel \overleftrightarrow{AB}\) [Construcción]
4) \(l \parallel \overleftrightarrow{AB}\) y \(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}\) \(\Rightarrow\) \(l \parallel \overleftrightarrow{CD}\) [Por 1), 3) y teorema de rectas paralelas (Para su demostración se utiliza el postulado de unicidad y prueba indirecta; garantiza que por P no pasan dos rectas)].
5) \(\angle BPD= \angle BPE +\angle EPD\) [Consecuencia de 3]
6) \(\angle ABP= \angle BPE = 75°\) [Ángulos alternos internos iguales entre paralelas; 2), 3) y 4)]
7) \(\angle CDP= \angle EPD=35°\) [Ángulos alternos internos iguales entre paralelas; 2), 3) y 4)]
8) \(\angle BPD= 75° +35°=110°\) [Sustituir 7) y 6) en 5)]
Q: RESPUESTA: La medida del \(\angle BPD=110°\)
5.2. Ejercicio 2.
Dados los ángulos \(\angle ABC= \angle BCD\). Demostrar si las bisectrices de estos ángulos son paralelos.
Resolución.
Datos
1) \(\angle ABC= \angle BCD\) [Dato]
2) \(\overrightarrow{BP}\) es bisectriz del \(\angle ABC\) [Dato]
3) \(\overrightarrow{CR}\) es bisectriz del \(\angle BCD\) [Dato]
Q: Demostrar: \(\overrightarrow{BP}\) \(\parallel\) \(\overrightarrow{CR}\)
Con los datos consignados, se pueden presentar 2 situaciones:
CASO 1
4) Efectuar el primer gráfico con los datos 1) 2) y 3)
6) \(\overrightarrow{BP}\) \(\nparallel\) \(\overrightarrow{CR}\) [De 5) y definición de rectas no paralelas]
CASO 2
4) Efectuar el segundo gráfico con los datos 1) 2) y 3)
5) \(\angle PBC=\angle BCR\) [De 4)]
6) \(\overrightarrow{BP}\) \(\parallel\) \(\overrightarrow{CR}\) [De 5) y ángulos alternos internos iguales generan rectas paralelas]
Q:RESPUESTA: Se presentan dos posibles casos. En el primer caso, se demuestra que las bisectrices de los ángulos no son paralelas ya que intersecan en un punto. En el segundo caso se puede demostrar efectivamente que las bisectrices de los ángulos son paralelas.
5.3. Ejercicio 3.
Observe el siguiente gráfico y valiéndose de los conocimientos previos, responda a las siguientes preguntas justificando su respuesta.
b) ¿Cuál es la medida de los ángulos \(\angle 1, \angle 2, \angle3, \angle4,\angle5,\angle6, \angle7, \angle8, \angle9, \angle10, \angle11, \angle12, \angle13\)?
Resolución
Inciso a
Observe las rectas \(p\) y \(q\), y la transversal \(m\), la suma de dos de los ángulos conjugados internos es un ángulo llano, es decir que 72° +108°=180°; cumpliendo el teorema: "Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados internos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas".Por lo tanto \(p\parallel q\).
Inciso b
Como \(p\parallel q\) entonces podemos realizar las siguientes afirmaciones:
\(\angle 1 = 72°\) [Ángulos opuestos por vértice]
\(\angle 2 = 108°\) [Ángulos correspondientes entre paralelas]
\(\angle 3 = 108°\) [Ángulos alternos internos entre paralelas]
\(\angle 4 = 72°\) [Ángulos alternos internos entre paralelas]
\(\angle 5 = 108°\) [Ángulos opuestos por el vértice]
\(\angle 6 = 72°\) [Ángulos correspondientes entre paralelas ]
\(\angle 7 = 63°\) [Ángulos alternos externos entre paralelas]
\(\angle 8= 180°-63= 117°\) [Ángulos suplementarios]
\(\angle 9= 63°\) [Ángulos correspondientes entre paralelas]
\(\angle 10= 117°\) [Ángulos opuestos por vértice]
\(\angle 11= 63°\) [Ángulos correspondientes entre paralelas]
\(\angle 12= 117°\) [Ángulos alternos internos entre paralelas]
\(\angle 13= 63°\) [Ángulos alternos externos entre paralelas]
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