ELEMENTOS NOTALES DEL TRIÁNGULO

ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 

    1. Las alturas de un triángulo y el ortocentro 

    2. Las medianas de un triángulo y el baricentro

    3. Las bisectrices de un triángulo y el incentro 

        3.1. Bisectriz interior 

        3.2. Bisectriz exterior 

    4. Las mediatrices de un triángulo y el circuncentro

    5. Las cevianas de un triángulo 

1. Las alturas de un triángulo y el ortocentro 

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde uno de sus vértices a su correspondiente lado opuesto, a este lado opuesto se lo llama base cuando se lo relaciona con su altura.  En consecuencia, cada triángulo tiene tres alturas. De manera general se usa la letra \(H\) o \(h\) para nombrar a la altura, pero cuando hay mas de una altura se la puede nombra por el vértice desde la que es trazada, por ejemplo: \(h_A\), \(h_B\)  y \(h_C\), o por la base al que la altura es perpendicular, por ejemplo \(h_a\), \(h_b\) y \(h_c\). 

Las tres alturas de un triángulo concurren el un punto, que se llama Ortocentro. 

\(h_A=h_a\) es la altura con relación a la base \(a\).

 \(h_B=h_b\) es la altura con relación a la base \(b\).

\(h_C=h_c\) es la altura con relación a la base \(c\).

 El punto \(L\)  donde concurren las tres alturas es el Ortocentro del triángulo.

Las diferentes alturas del \(\triangle{ABC}\)

2. Las medianas de un triángulo y el baricentro 

La mediana de un triángulo es el segmento trazado desde uno de sus vértices al punto medio de su correspondiente lado opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas. El punto donde concurren las tres medianas se llama baricentro o centro de gravedad. 

\(D\), \(E\) y  \(F\) son puntos medios de los lados del \(\triangle ABC\), en consecuencia  los segmentos \(\overline{BD}, \overline{AE}, \overline{CF}\) son medianas del referido triángulo. 

El punto R es le baricentro o centro de gravedad del \(\triangle ABC\).

Medianas del \(\triangle ABC\)

 3. Las bisectrices de un triángulo y el incentro

Como se recordará la bisectriz de un ángulo es el rayo que divide la amplitud de un ángulo en dos partes iguales, de manera que se generan dos ángulos de la misma amplitud. 

        3.1. Bisectriz interior   

Cuando se habla de las  bisectrices de un triángulo generalmente se refiere a las bisectrices de los ángulos interiores. El triángulo cuenta con tres bisectrices interiores las cuales concurren en un punto al interior del triángulo al cual se lo llama incientro.  El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo, es decir que los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia. 

Los rayos \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{BM}\) y \(\overrightarrow{CM}\) son bisectrices de los ángulos \(\angle A\), \(\angle B\) y \(\angle C\) respectivamente. 

El punto \(M\) es el incentro del \(\triangle ABC\) y es el centro de la circunferencia inscrita a este.

Bisectrices interiores del \(\triangle ABC\)

        3.2. Bisectriz exterior 

También pueden trazarse las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, a las cuales se las conoce como bisectriz exterior.

Bisectrices exteriores del \(\triangle ABC\)

4. Las  mediatrices de un triángulo y el circuncentro

La mediatriz es la recta perpendicular trazada desde el punto medio de uno de los lados del triángulo. Cada triángulo posee tres mediatrices. El punto donde concurren las tres mediatrices  se llama circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir que la circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo.  

\(D\), \(E\) y  \(F\) son puntos medios de los lados del \(\triangle ABC\) y las rectas \(\overleftrightarrow{DQ}\) , \(\overleftrightarrow{EQ}\) y \(\overleftrightarrow{FQ}\) pasan por esos puntos siendo perpendiculares a sus respectivos lados, siendo las referidas rectas las mediatrices del triángulo.

El punto \(Q\) es el circuncentro del \(\triangle ABC\).

Mediatrices del \(\triangle ABC\)

    5. Las cevianas de un triángulo  

Las cevianas de un triángulo es el segmento que parte de uno de los vértices del triángulo a su correspondiente lado opuesto.Pueden trazarse infinitas cevianas a partir de cada uno de los tres vértices del triángulo .

Los segmentos \(\overline{BD}, \overline{BE}, \overline{BH}\) son algunas de las cevianas que se pueden trazas desde el vértice  \(B\) del  \(\triangle ABC\). 

 

Algunas de las cevianas del \(\triangle ABC\)