SISTEMA DE NÚMEROS REALES - Repaso #2
NÚMEROS REALES
1. Sistema de números Reales
El sistema de Números reales \(\mathbb{R}\) , es el conjunto ordenado de números que se representa gráficamente mediante una línea recta, llamada recta Real; y cuyos números interaccionan entre sí siguiendo una serie de leyes, propiedades y definiciones que regulan su funcionamiento.
Es importante respetar y utilizar las normas del sistema, de lo contrario se obtendrá resultados absurdos. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1. Resolver la expresión: \((-4)^{\frac{1}{2}}\)
Alternativa 1.
$$(-4)^{\frac{1}{2}}=((-2)^{2})^{\frac{1}{2}}=-2 $$
Resultado erróneo, porque no respeta las normas que rigen el sistema.
Alternativa 2.
$$ (-4)^{\frac{1}{2}}=((-1)(2^{2}))^{\frac{1}{2}}=2i $$
El resultado y el procedimiento es correcto, pero no la solución no pertenece al sistema.
Alternativa 3.
Si se está trabajando en el sistema de números reales, la respuesta correcta es:
No tiene solución
Observe la alternativa 1, el no utilizar las normas y procedimientos correctamente, puede conducir a respuestas falsas o erróneas.
2. Propiedades del sistema de números reales
Sean \(a, b \textup{ y } c \textup{ números reales } \mathbb R\), entonces podemos pasar a definir las siguientes leyes y propiedades.
2.1. Leyes de adición
2.1.1. Ley de clausura o de cerradura
La suma de dos números reales, siempre da un número real.
$$ a+b \textup{ es un número real de } \mathbb R$$
2.1.2. Ley asociativa
$$(a+b)+c=a+(b+c)$$
2.1.3. Ley conmutativa$$a+b=b+a$$
2.1.4. Propiedad del neutro aditivo (Propiedad de identidad)Al número \(0\) se lo llama neutro aditivo porque si se lo suma a cualquier número real no modifica el valor del número.
$$a+0=0+a=a$$
2.1.5. Propiedad del inverso aditivo (Propiedad de inverso)Para todo número real \(a\), existe un único número real \(-a\) llamado inverso aditivo de \(a\); que sumados dan \(0\). Es decir:
$$a+(-a)=(-a)+a=0$$
2.2. La Diferencia
2.3. La multiplicación
2.3.1. Ley de clausura o de cerradura
El Producto de dos números reales es un número real.
$$ a\cdot b \textup{ es un número real de } \mathbb R$$
2.3.2. Ley asociativa$$(ab)c=a(bc)$$
2.3.3. Ley conmutativa$$ab=ba$$
2.3.4. Propiedad del neutro multiplicativo (Propiedad de identidad)Al número \(1\) se lo llama neutro multiplicativo porque si se multiplica a cualquier número real no modifica el valor del número.
$$a\cdot1=1\cdot a=a$$
2.3.5. Propiedad del inverso multiplicativo
Para todo número real \(a\neq 0\), existe un único número real \(a^{-1}= \displaystyle\frac{1}{a}\) llamado inverso multiplicativo de \(a\); de tal manera que el producto de ambos es \(1\). Es decir:
$$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\textup{, con }a \ne 0$$
$$a\cdot \displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{1}{a}\cdot a=1 \textup{, con }a \ne 0$$
Note que cuando \(a = 0\), el inverso multiplicativo no esta definido. Por tanto, no efectúe operaciones cuando el denominador se una fracción sea igual a \(0\)
2.3.6. Multiplicación por \(0\)
$$a\cdot0=0\cdot a=0$$
2.4. Cociente o división
Sean \(a \textup{ y } b \textup{ números reales } \mathbb R\), con \(b\neq 0\) entonces el cociente \(a\div b \) se define como:
$$a\div b = \displaystyle\frac{a}{b}=a(\displaystyle\frac{1}{b}) \textup{ , con } b\ne 0 $$
Note claramente que la división por el número \(0\) queda totalmente excluida.
La forma \(\displaystyle\frac{a}{b}\) es conocida como FRACCIÓN, donde \(a\) es llamado numerador y \(b\) es el denominador.
2.4.1. División de \(0\)
$$ 0\div b = \displaystyle\frac{0}{b}= 0 \textup{ , con } b\ne 0 $$
2.4.2. División por \(0\)
$$ 0\div 0 = \displaystyle\frac{0}{0} : \textup{ Indefinido}$$
$$ a\div 0 = \displaystyle\frac{a}{0} : \textup{ Indefinido} \textup{, con } a\ne 0 $$
2.5. Propiedad de los signos
$$ -(-a)=a$$
$$ -ab = -(ab) = -(a)b = a(-b)$$
$$ -a =(-1)a $$
$$ ab = (-a)(-b)$$
$$ -\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{-a}{b}=\displaystyle\frac{a}{-b} \textup{, con } b\ne 0 $$
$$\displaystyle\frac{a}{b}= -\displaystyle\frac{-a}{b}=-\displaystyle\frac{a}{-b}= \displaystyle\frac{-a}{-b}\textup{, con } b\ne 0 $$
2.6. Propiedad distributiva y factor común
$$ a (b+c)= ab+ac$$
$$(a+b)c= ac+bc $$
2.7. Propiedad de cancelación y adición
$$ a+c =b+c \Leftrightarrow a = b $$
$$ ac=bc \Rightarrow a= b \textup{, siempre que } c\ne 0 $$
$$ a=b \Rightarrow ac= bc $$
$$ \displaystyle\frac{ac}{bc}= \displaystyle\frac{a}{b} : \textup{, siempre que } c \ne 0 $$
2.8. Operaciones con fracciones
2.8.1. Adición y sustracción de fracciones con denominador común
$$ \displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{a+c}{b} $$
$$ \displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{a-c}{b} $$
2.8.2. Adición y sustracción de fracciones con distintos denominadores
$$ \displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{ad+cb}{bd} $$
$$ \displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{ad-cb}{bd} $$
2.8.3. Multiplicación y división de fracciones
$$ \displaystyle\frac{a}{b}\cdot \displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{ac}{bd} $$
$$ \displaystyle\frac{a}{b}\div \displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}}= \displaystyle\frac{ad}{bc} \textup{; con } b \ne 0 , c \ne 0, d \ne 0 $$
3. Representación de números reales por intervalos
Debido a que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números, la representación por lista resulta ineficaz, y la interpretación mediante propiedad no permite efectuar algunas evaluaciones, por lo que tener una notación alternativa y una gráfica son muy útiles.
Un intervalo es una sección de la recta Real. El intervalo puede estar contenido entre dos números, a los que se conoce como números terminales. Si el número es parte del intervalo, entonces decimos que el intervalo en ese punto terminal es cerrado. Por el contrario, si el número no es parte del intervalo, entonces decimos que el intervalo es abierto en ese número terminal.
Los paréntesis (), los corchetes abiertos][, y los símbolos <, >; y un circulo abierto en la representación gráfica, expresan que el intervalo en ese número terminal es abierto, y por tanto ese número no pertenece al intervalo. Análogamente, los corchetes [], l os símbolos \(\leq\), \(\geq\) ; y un circulo cerrado en la representación gráfica, expresan que el intervalo en ese número terminal es cerrado , y por tanto ese número pertenece al intervalo.
3.1. Intervalo cerrado
El siguiente ejemplo muestra la representación de un intervalo cerrado.
$$[-2,2]= \left\{x | -2\leq x \leq 2 \right\}$$
 |
| Los números -2 y 2 pertenecen al intervalo |
3.2. Intervalo abierto
El siguiente ejemplo muestra la representación de un intervalo abierto.
$$(-2,2)=]-2,2[ =\left\{x | -2< x < 2 \right\}$$
 |
| Los números -2 y 2 no pertenecen al intervalo |
3.3. Intervalos semiabierto o semicerrados
Son aquellos que tienen dos números terminales, perteneciendo uno de ellos al intervalo y el otro no. los siguientes ejemplos muestran intervalos semiabiertos.
$$(-2,2]=]-2,2] =\left\{x | -2< x \leq 2 \right\}$$
 |
| -2 no pertenece al intervalo; 2 pertenece al intervalo |
$$[-2,2)=[-2,2[ =\left\{x | -2 \leq x < 2 \right\}$$
 |
| -2 pertenece al intervalo; 2 no pertenece al intervalo |
3.4. Intervalos infinitos
Son aquellos que tienen un número terminal, extendiéndose en una determinada dirección hacia el infinito.
$$(-\infty, 2]=]-\infty,2] =\left\{x | x \leq 2 \right\}$$
 |
| El conjunto parte de 2, incluyendo este, y se extiende hacia el infinito negativo |
$$(-\infty, 2)=]-\infty,2[ =\left\{x | x < 2 \right\}$$
 |
| El conjunto parte de 2, sin incluir este, y se extiende hacia el infinito negativo |
$$[2, \infty)=[2, \infty,[ =\left\{x | x \geq 2 \right\}$$
 |
| El conjunto inicia en 2, incluyendo este, y se extiende hacia el infinito positivo |
$$(2, \infty)=]2, \infty,[ =\left\{x | x > 2 \right\}$$
 |
| El conjunto inicia en 2, sin incluir este, y se extiende hacia el infinito positivo |
De manera general la recta de números reales puede representarse:
$$(-\infty, \infty)=]-\infty,\infty[ =\left\{x | x \in \mathbb R\right\}$$
 |
| La Recta real comprende todos los números reales. |
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