RESUMEN: TEOREMAS RECTAS PARALELAS - Capítulo# 11

RESUMEN: TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS

1. Los ángulos correspondientes

2. Los ángulos alternos externos

3. Los ángulos alternos internos

4. Los ángulos conjugados externos

5. Los ángulos conjugados internos

6. Ejercicios propuestos

1. Los ángulos correspondientes 

- Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de sus ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas. 

Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con \(\alpha = \beta\) ángulos correspondientes \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\)

- Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos correspondientes son iguales. (Reciproco)

 Sea \(m\parallel n\) con  \(l\) una recta transversal con \(\alpha\) y \(\beta\) ángulos correspondientes \(\Rightarrow \alpha\)  =   \(\beta\)

2. Los ángulos alternos externos

Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos alternos externos son iguales, entonces las rectas son paralelas. 

Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con  \(\alpha = \gamma\) ángulos alternos externos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\)

- Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos alternos externos son iguales.

Sea \(m\parallel n\) con  \(l\) una recta transversal, con \(\alpha\) y \(\gamma\) ángulos alternos externos \(\Rightarrow\) \(\alpha\)  =   \(\gamma\)

3. Los ángulos alternos internos 

Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.

Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con  \(\theta = \beta\) ángulos alternos internos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\)

-Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos alternos internos son iguales.

Sea \(m\parallel n\) con  \(l\) una recta transversal, con \(\beta\) y \(\theta \) ángulos alternos internos\(\Rightarrow\) \(\beta\)  =   \(\theta\)

4. Los ángulos conjugados externos

- Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados externos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas. 

Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con  \(\alpha +\delta = 180°\) siendo el par de ángulos conjugados externos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\)

-  Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos conjugados externos son suplementarios.

Sea \(m\parallel n\) con  \(l\) una recta transversal, con \(\alpha\) y \(\delta\) ángulos conjugados externos\(\Rightarrow\) \(\alpha +\delta= 180°\)

5. Los ángulos conjugados internos 

- Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados internos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Sean \(m\) y \(n\) rectas atravesadas por \(l\) con  \(\theta +\epsilon = 180°\) siendo el par de ángulos conjugados internos \(\Rightarrow\) \(m\parallel n\)

-  Si dos rectas paralelas se cortan por una recta transversal, entonces sus ángulos conjugados internos son suplementarios.

Sea \(m\parallel n\) con  \(l\) una recta transversal, con \(\theta\) y \(\epsilon\) ángulos conjugados internos \(\Rightarrow\) \(\theta +\epsilon= 180°\)

      

5. Ejercicios 

    5.1. Ejercicio 1.  

Dadas las rectas paralelas \(\overleftrightarrow{AB}\) y \(\overleftrightarrow{CD}\) se ubica un punto \(P\) entre ambas rectas de tal manera que \(\angle ABP =75\)° y \(\angle CDP=35°\) tal como se aprecia en la figura. Hallar la medida del ángulo \(\angle BPD\).

Resolución 

1)    \(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}\)        [Dato]

2)    \(\angle ABP =75\)° y \(\angle CDP=35°\)        [Dato]

Q: Hallar \(\angle BPD\)

3)     Por el punto \(P\) trazar la recta \(l\), tal que,  \(l \parallel \overleftrightarrow{AB}\)        [Construcción]

4)     \(l \parallel \overleftrightarrow{AB}\) y  \(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}\) \(\Rightarrow\) \(l \parallel \overleftrightarrow{CD}\)         [Por 1), 3) y teorema de rectas paralelas (Para su demostración se utiliza el postulado de unicidad y prueba indirecta;   garantiza que por  P no pasan dos rectas)].

5)    \(\angle BPD= \angle BPE +\angle EPD\)        [Consecuencia de 3]

6)    \(\angle ABP= \angle BPE = 75°\)        [Ángulos alternos internos iguales entre paralelas; 2), 3) y 4)]

7)    \(\angle CDP= \angle EPD=35°\)         [Ángulos alternos internos iguales entre paralelas; 2), 3) y 4)]

8)     \(\angle BPD= 75° +35°=110°\)        [Sustituir 7) y 6) en 5)]

Q: RESPUESTA:  La medida del \(\angle BPD=110°\)
 

       5.2. Ejercicio 2.  

Dados los ángulos  \(\angle ABC= \angle BCD\). Demostrar si las bisectrices de estos ángulos son paralelos. 

Resolución. 

Datos

1)  \(\angle ABC= \angle BCD\)        [Dato]

2)     \(\overrightarrow{BP}\) es bisectriz del \(\angle ABC\)        [Dato]

3)     \(\overrightarrow{CR}\) es bisectriz del \(\angle BCD\)        [Dato]

Q: Demostrar:  \(\overrightarrow{BP}\) \(\parallel\) \(\overrightarrow{CR}\) 

Con los datos consignados, se pueden presentar 2 situaciones:

CASO 1

 4) Efectuar el primer gráfico con los datos 1) 2) y 3)

5) Las bisectrices \(\overrightarrow{BP}\)  y  \(\overrightarrow{CR}\)  intersecan en el punto  \(E\)        [De 4)]

6) \(\overrightarrow{BP}\) \(\nparallel\) \(\overrightarrow{CR}\)            [De 5) y definición de rectas no paralelas]
 

 CASO 2

  4) Efectuar el segundo gráfico con los datos 1) 2) y 3)

5)     \(\angle PBC=\angle BCR\)          [De 4)]

6)    \(\overrightarrow{BP}\) \(\parallel\) \(\overrightarrow{CR}\)            [De 5) y ángulos alternos internos iguales generan rectas paralelas]

Q:RESPUESTA: Se presentan dos posibles casos. En el primer caso, se demuestra que las bisectrices de los ángulos no son paralelas ya que intersecan en un punto. En el segundo caso se puede demostrar efectivamente que las bisectrices de los ángulos son paralelas.

 5.3. Ejercicio 3.  

Observe el siguiente gráfico y valiéndose de los conocimientos previos, responda a las siguientes preguntas justificando su respuesta.

a) ¿Las rectas \(p\) y  \(q\) son rectas paralelas?

b) ¿Cuál es la medida de los ángulos  \(\angle 1, \angle 2, \angle3, \angle4,\angle5,\angle6, \angle7, \angle8, \angle9, \angle10, \angle11, \angle12, \angle13\)?

Resolución

Inciso a

Observe las rectas \(p\) y  \(q\), y la transversal \(m\), la suma de dos de los ángulos conjugados internos es un ángulo llano, es decir que 72° +108°=180°; cumpliendo el teorema: "Si dos rectas son atravesadas por una transversal y un par de ángulos conjugados internos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas".Por lo tanto \(p\parallel q\).

Inciso b

Como \(p\parallel q\) entonces podemos realizar las siguientes afirmaciones: 

\(\angle 1 = 72°\)        [Ángulos opuestos por vértice]

 \(\angle 2 = 108°\)        [Ángulos correspondientes entre paralelas]

\(\angle 3 = 108°\)        [Ángulos alternos internos entre paralelas]

\(\angle 4 = 72°\)        [Ángulos alternos internos entre paralelas]

\(\angle 5 = 108°\)        [Ángulos opuestos por el vértice]

\(\angle 6 = 72°\)         [Ángulos correspondientes entre paralelas ] 

 \(\angle 7 = 63°\)        [Ángulos alternos externos entre paralelas]

 \(\angle 8= 180°-63= 117°\)        [Ángulos suplementarios]

 \(\angle 9= 63°\)        [Ángulos correspondientes entre paralelas]

\(\angle 10= 117°\)        [Ángulos opuestos por vértice]

 \(\angle 11= 63°\)        [Ángulos correspondientes entre paralelas]

\(\angle 12= 117°\)        [Ángulos alternos internos entre paralelas]

\(\angle 13= 63°\)        [Ángulos alternos externos entre paralelas]