CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS - Capítulo #6

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 

1. Introducción

2. Criterios de congruencia

    2.1. Lado Lado Lado (LLL)
    2.2. Lado Ángulo Lado Ángulo (LAL)
    2.3. Ángulo Lado Ángulo (ALA)
3. Teoremas de Congruencia
    3.1. Lado Ángulo Ángulo (LAA)
    3.2. Hipotenusa Cateto (Hip. Cat)

1. Introducción

Dos o mas triángulos son congruentes cuando tiene la misma forma y el mismo tamaño, se emplea el símbolo \(\cong\) para indicar que dos figuras son congruentes,  en consecuencia sus elementos correspondientes tienen las mismas medidas. 

La congruencia se emplea para la demostración de teoremas y resolución de problemas mediante la comparación de figuras geométricas congruentes. 

2. Criterios de congruencia de triángulos

Son tres los criterios de congruencias conocidos también como postulados de congruencia de triángulos. 

    2.1. Lado Lado Lado (LLL) 

Si los tres lados de un triángulo tienen la misma medida a los correspondientes tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.  

Dados \(\triangle ABC\) y  \(\triangle DEF\) con \(\overline{AB}= \overline{DE}\), \(\overline{BC}= \overline{EF}\), y \(\overline{AC}= \overline{DF}\); entonces \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ; en consecuencia: \(\angle A= \angle D\); \(\angle B= \angle E\); y \(\angle C= \angle F\).

\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) por LLL

Note que los ángulos iguales son aquellos opuestos a los correspondientes lados iguales.

2.2. Lado Ángulo Lado (LAL)

Si dos lados de un triángulo y el ángulo interior que estos forman tienen las mismas medidas a los correspondientes otros dos lados y el ángulo interior que estos forman de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. 

Dados \(\triangle ABC\) y  \(\triangle DEF\) con \(\overline{AB}= \overline{DE}\),  \(\overline{BC}= \overline{EF}\), y \(\angle B= \angle E\); entonces \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ; en consecuencia: \(\angle A= \angle D\); \(\overline{AC}= \overline{DF}\); y \(\angle C= \angle F\). 

\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) por LAL

Note que los ángulos iguales son aquellos opuestos a los correspondientes lados iguales, y que los lados iguales son aquellos opuestos a los correspondientes angulos iguales. 

2.3. Ángulo Lado Ángulo 

Si dos angulos interiores de un triángulo y el lado comun a ambos ángulos tienen las mismas medidas a los correspondientes otros dos ángulos interiores y el lado comun a ambos ángulos de otro triangulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Dados \(\triangle ABC\) y  \(\triangle DEF\) con \(\angle A= \angle D\), \(\angle C= \angle F\) y \(\overline{AC}= \overline{DF}\), entonces \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). En consecuencia: \(\angle B= \angle E\),  \(\overline{AB}= \overline{DE}\) y    \(\overline{BC}= \overline{EF}\).

Note que los lados iguales son aquellos opuestos a los correspondientes ángulos iguales, y que los ángulos iguales son aquellos opuestos a los correspondientes lados iguales. 

3. Teoremas de congruencia 

3.1. Lado Ángulo Ángulo LAA

Si en un triángulo dos de sus ángulos interiores y un lado opuesto a uno de esos ángulos; tienen las mismas medidas que dos ángulos interiores y el lado opuesto a uno de esos ángulos correspondientes a un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. 

Dados \(\triangle ABC\) y  \(\triangle DEF\) con \(\angle A= \angle D\), \(\angle C= \angle F\) y \(\overline{BC}= \overline{EF}\), entonces \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). En consecuencia: \(\angle B= \angle E\),  \(\overline{AB}= \overline{DE}\) y    \(\overline{AC}= \overline{EF}\).

3.2. Hipotenusa Catéto H-C

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo tienen las mismas medidas que la hipotenusa y un cateto correspondientes a otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Dados los triángulos rectángulos \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\) con las hipotenusas \(\overline{AC}= \overline{DF}\) y los catetos \(\overline{AB}= \overline{DE}\) entonces \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). En consecuencia: \(\overline{BC}= \overline{EF}\), \(\angle A= \angle D\) y \(\angle C= \angle F\).